Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{3} + 1) \ln (x^{3} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} + 1$ et $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.4.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{3} + 1}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.4.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{x^{3} + 1}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.4.4

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

Étape 3.8

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1^{3}} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez

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Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $x^{3} + 1$ par $\frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2})}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{(x^{3} + 1^{3}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} - x + 1$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Étape 4.2.5.2

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$