Calcul infinitésimal Exemples

$y = (3 - 3 x^{2}) (5 x^{2} - 60)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 - 3 x^{2}$ et $g (x) = 5 x^{2} - 60$ .

$(3 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 60] + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 60$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$(3 - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 - 3 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 - 3 x^{2}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$(3 - 3 x^{2}) (10 x + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.5

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 - 3 x^{2}) (10 x + 0) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$(3 - 3 x^{2}) (10 x) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.6.2

Déplacez $10$ à gauche de $3 - 3 x^{2}$ .

$10 \cdot (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 3 (2 x))$

Étape 2.12

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 6 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(10 \cdot 3 + 10 (- 3 x^{2})) x + (5 x^{2} - 60) (- 6 x)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 \cdot 3 x + 10 (- 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 6 x)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 \cdot 3 x + 10 (- 3 x^{2}) x + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$30 x + 10 (- 3 x^{2}) x + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$30 x - 30 x^{2} x + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$30 x - 30 (x^{1} x^{2}) + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 x - 30 x^{1 + 2} + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$30 x - 30 x^{3} + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.6

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{2} x - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 (x^{1} x^{2}) - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{1 + 2} - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{3} - 60 (- 6 x)$

Étape 3.4.10

Multipliez $- 6$ par $- 60$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{3} + 360 x$

Étape 3.4.11

Soustrayez $30 x^{3}$ de $- 30 x^{3}$ .

$30 x - 60 x^{3} + 360 x$

Étape 3.4.12

Additionnez $30 x$ et $360 x$ .

$- 60 x^{3} + 390 x$