Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \arcsin (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Étape 3.2

La dérivée de $\arcsin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2}))$

Étape 4.3

Associez les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + 1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ par $1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ et $x^{- 2}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}})$

Étape 4.3.4

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}})$

Étape 6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}})$