Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x - 1) \ln (x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + 0)$

Étape 3.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \cdot 1$

Étape 3.8.2

Multipliez $\ln (x - 1)$ par $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Étape 3.8.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Étape 3.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x - 1)$