Calcul infinitésimal Exemples

$y = (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x - 1$ et $g (x) = {(3 x + 1)}^{4}$ .

$(4 x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$(4 x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (4 {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $4$ à gauche de $4 x - 1$ .

$4 \cdot (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.7.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + 0)$

Étape 3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.13.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \cdot 4$

Étape 3.13.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(3 x + 1)}^{4}$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 \cdot {(3 x + 1)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(12 (4 x) + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$(48 x + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Étape 4.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Étape 4.4

Factorisez ${(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez ${(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3}$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Étape 4.4.2

Factorisez ${(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $4 {(3 x + 1)}^{4}$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$

Étape 4.4.3

Factorisez ${(3 x + 1)}^{3}$ à partir de ${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12 + 4 (3 x + 1))$