Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\tan (5 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \tan (5 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (5 x)$ .

$\cos (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\cos (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cdot 5$

Étape 3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$5 \cdot (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $5 \cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.2

Réécrivez $\sec (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.5

Associez $5$ et $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.6

Associez $\frac{5}{\cos^{2} (5 x)}$ et $\cos (\tan (5 x))$ .

$\frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Étape 4.7

Factorisez $\cos (5 x)$ à partir de $\cos^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x) \cos (5 x)}$

Étape 4.8

Séparez les fractions.

$\frac{5}{\cos (5 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)}$

Étape 4.9

Réécrivez $\frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)}$ comme un produit.

$\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)})$

Étape 4.10

Écrivez $\cos (\tan (5 x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{5}{\cos (5 x)} (\frac{\cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)})$

Étape 4.11

Simplifiez

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Étape 4.11.1

Divisez $\cos (\tan (5 x))$ par $1$ .

$\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)})$

Étape 4.11.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ à $\sec (5 x)$ .

$\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$

Étape 4.12

Séparez les fractions.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$

Étape 4.13

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ à $\sec (5 x)$ .

$\frac{5}{1} \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$

Étape 4.14

Divisez $5$ par $1$ .

$5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$

Étape 4.15

Multipliez $5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$ .

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Étape 4.15.1

Élevez $\sec (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.15.2

Élevez $\sec (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (5 x))$

Étape 4.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$