Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x) \sec (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (2 x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.4.2

Divisez $2 \sin (x)$ par $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.6

Multipliez $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.2.6.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.6.2

Associez $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.6.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.6.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Étape 5.2.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5.2.8

Multipliez $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.2.8.1

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Étape 5.2.8.2

Associez $\frac{2}{\cos (x)}$ et $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.4

Divisez $2 (\sin (x))$ par $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.5

Séparez les fractions.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 5.3.7

Écrivez $\cos (2 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 5.3.8

Simplifiez

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Étape 5.3.8.1

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 5.3.8.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Étape 5.3.9

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$