Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 7

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Étape 8.3

Déplacez $4$ à gauche de $\tan (x)$ .

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 8.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.1.3

Réécrivez $4 \cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.1.4

Annulez les facteurs communs.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.3

Multipliez $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 8.5.3.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $- 5$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.3.2

Associez $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.3.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.8

Associez $4$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.9

Associez $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8.5.10

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Étape 8.5.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 8.5.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 8.5.13

Associez $5$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 8.5.14

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.5.14.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 8.5.14.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 8.5.14.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.7

Remettez dans l’ordre $- 5 \sin^{2} (x)$ et $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.8

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.9

Factorisez $5$ à partir de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.10

Factorisez $5$ à partir de $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.11

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 8.12.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $5 \cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.12.2.1

Multipliez par $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.12.2.4

Divisez $5 \cos (x)$ par $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.13.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 8.13.2

Séparez les fractions.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.13.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 8.13.4

Séparez les fractions.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 8.13.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

Étape 8.13.6

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$