Calcul infinitésimal Exemples

$x {(9 - x)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(9 - x)}^{2}$ comme $(9 - x) (9 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((9 - x) (9 - x))]$

Étape 2

Développez $(9 - x) (9 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (9 (9 - x) - x (9 - x))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x (9 - x))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - x \cdot 9 - x (- x))]$

Étape 3.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - x (- x))]$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + 1 x^{2})]$

Étape 3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + x^{2})]$

Étape 3.2

Soustrayez $9 x$ de $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 18 x + x^{2})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 81 - 18 x + x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [81 - 18 x + x^{2}] + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 - 18 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.6

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$x (- 18 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \cdot 1$

Étape 5.9

Multipliez $81 - 18 x + x^{2}$ par $1$ .

$x (- 18 + 2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot - 18 + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Déplacez $- 18$ à gauche de $x$ .

$- 18 \cdot x + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 18 x + 2 x^{1 + 1} + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 18 x + 2 x^{2} + 81 - 18 x + x^{2}$

Étape 6.2.6

Soustrayez $18 x$ de $- 18 x$ .

$- 36 x + 2 x^{2} + 81 + x^{2}$

Étape 6.2.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$- 36 x + 3 x^{2} + 81$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - 36 x + 81$