Calcul infinitésimal Exemples

$x {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x - 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.3

Placez ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.2

Associez $\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 15

Multipliez ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 16

Pour écrire ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Multipliez ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{1}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Simplifiez ${(2 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{x + 2 x - 3}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x - 3}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$