Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot \sqrt{8 x - x^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 x - x^{2}}$ comme ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 8 x - x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3

Placez ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - (2 x)) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 17

Multipliez ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(8 - 2 x) \frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1

Multipliez $8 - 2 x$ par $\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(8 - 2 x) x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2.2

Factorisez $2$ à partir de $(8 - 2 x) x$ .

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 ({(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.3

Pour écrire ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4 - x) x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - x \cdot x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.3

Multipliez ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.5.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.3.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{1}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.4

Simplifiez ${(8 x - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{4 x - x^{2} + 8 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.5

Additionnez $4 x$ et $8 x$ .

$\frac{- x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.6

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.7

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 18.5.7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.7.2

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.7.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (6)$ .

$\frac{2 x (- x + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.7

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{2 x (- (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.9

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 x) (x - 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$