Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (2 x^{0.5})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x^{0.5}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{0.5}$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{0.5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 0.5$ .

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Associez $0.5$ et $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{0.5}{x^{0.5}}$ et $x^{- 0.5}$ .

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

Étape 2.4.3

Placez $x^{- 0.5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $x^{0.5}$ par $x^{0.5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

Étape 3.1.2

Additionnez $0.5$ et $0.5$ .

$\frac{0.5}{x^{1}}$

Étape 3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{0.5}{x}$