Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (6 x - \cos (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 6 x - \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - - \sin (x))$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + 1 \sin (x))$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$ .

$(6 + \sin (x)) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 \frac{1}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Étape 5.3

Associez $6$ et $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Étape 5.4

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{6 x - \cos (x)}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 + \sin (x)}{6 x - \cos (x)}$