Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\ln (1 - x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (1 - x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (1 - x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (1 - x)$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - x}$ par $\frac{1}{\ln (1 - x)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \cdot - 1$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

Étape 3.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

Étape 3.7.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ .

$- \frac{1}{\ln (1 - x) (1 - x)}$