Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\csc (5 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \csc (5 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Étape 2

Réécrivez $\csc (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Étape 4

Multipliez $\sin (5 x)$ par $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 5.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 6.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Étape 6.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réorganisez les facteurs de $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Étape 7.2

Réécrivez $\cot (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Étape 7.3

Associez $- 5$ et $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Étape 7.5

Réécrivez $\csc (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (5 x)}$ par $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.6.2

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.6.3

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Étape 7.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $\sin (5 x)$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.7.2

Factorisez $\sin (5 x)$ à partir de $\sin^{2} (5 x)$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Étape 7.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 7.9

Séparez les fractions.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Étape 7.10

Convertissez de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ à $\cot (5 x)$ .

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Étape 7.11

Divisez $5$ par $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Étape 7.12

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$