Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Étape 2

Réécrivez $\sec (\frac{2}{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Étape 4

Multipliez $\cos (\frac{2}{x})$ par $1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Étape 5.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

Étape 7.2.3

Associez $\cos (\frac{2}{x})$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

Étape 7.2.4

Associez $\sec (\frac{2}{x})$ et $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

Étape 7.2.5

Associez $\tan (\frac{2}{x})$ et $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

Étape 7.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

Étape 7.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

Étape 7.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $\tan (\frac{2}{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.2

Réécrivez $\sec (\frac{2}{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3

Associez les exposants.

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Étape 7.3.3.1

Associez $2$ et $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ par $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\cos (\frac{2}{x})$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3.4

Élevez $\cos (\frac{2}{x})$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Étape 7.3.3.7

Associez $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ et $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Étape 7.3.4

Réduisez l’expression $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.3.4.1

Factorisez $\cos (\frac{2}{x})$ à partir de $2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Étape 7.3.4.2

Factorisez $\cos (\frac{2}{x})$ à partir de $\cos^{2} (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Étape 7.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Étape 7.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 7.5

Associez.

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Étape 7.7

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

Étape 7.8

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ à $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

Étape 7.9

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$