Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sec (3 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2

Réécrivez $\sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 4

Multipliez $\cos (3 x)$ par $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 5.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Étape 6.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 7.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (3 x)$ et $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 7.1.3

Réécrivez $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 7.1.4

Annulez les facteurs communs.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Étape 7.3

Réécrivez $\tan (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 7.4

Associez $3$ et $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 7.5

Séparez les fractions.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 7.6

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Étape 7.7

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \tan (3 x)$