Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\ln (\ln (\ln (x))))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (\ln (\ln (x)))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (\ln (\ln (x)))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (\ln (\ln (x)))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (\ln (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (\ln (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{\ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ par $\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{\ln (x)}$ par $\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))}$ .

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))) x}$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x \ln (\ln (\ln (x))) \ln (\ln (x)) \ln (x)}$