Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sin (x^{x}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x^{x})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x^{x})$ .

$\frac{1}{\sin (x^{x})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x^{x})}$ à $\csc (x^{x})$ .

$\csc (x^{x}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{x}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{x}$ .

$\csc (x^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\csc (x^{x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{x}$ .

$\csc (x^{x}) (\cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 4

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 4.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Étape 4.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $x \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 7

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 8.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Étape 8.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Étape 9.3

Multipliez $e^{x \ln (x)}$ par $1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) e^{x \ln (x)} + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Étape 9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) + e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) \ln (x)$