Calcul infinitésimal Exemples

$r (x) = 1000 \sqrt{x^{2} - 0.3 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 0.3 x}$ comme ${(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $1000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 0.3 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 0.3 x$ .

$1000 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 0.3 x$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1000 (\frac{{(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 9

Placez ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1000 (\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $1000$ .

$\frac{1000}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Étape 11

Factorisez $2$ à partir de $1000$ .

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 500}{2 ({(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Étape 13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 0.3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x]$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Étape 15

Comme $- 0.3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.3 x$ par rapport à $x$ est $- 0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \cdot 1)$

Étape 17

Multipliez $- 0.3$ par $1$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$ .

$(2 x - 0.3) \frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.2

Multipliez $2 x - 0.3$ par $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.3.1

Factorisez $0.1$ à partir de $2 x - 0.3$ .

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Étape 18.3.1.1

Factorisez $0.1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(0.1 (20 x) - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3.1.2

Factorisez $0.1$ à partir de $- 0.3$ .

$\frac{(0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3.1.3

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)$ .

$\frac{0.1 (20 x - 3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3.2

Multipliez $500$ par $0.1$ .

$\frac{50 (20 x - 3)}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$