Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + c^{2}}{x^{2} - c^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + c^{2}$ et $g (x) = x^{2} - c^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + c^{2}] - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + c^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c^{2}]) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [c^{2}]) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $c^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (2 x) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - c^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - c^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- c^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- c^{2}])}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- c^{2}])}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- c^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- c^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - 2 (x^{2} + c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- c^{2})) x - 2 (x^{2} + c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x - 2 (x^{2} + c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x + (- 2 x^{2} - 2 c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 c^{2} x$ .

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (- c^{2}) x + 0 - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Additionnez $2 (- c^{2}) x$ et $0$ .

$\frac{2 (- c^{2}) x - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 c^{2} x - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $2 c^{2} x$ de $- 2 c^{2} x$ .

$\frac{- 4 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = c$ .

$- \frac{4 c^{2} x}{{((x + c) (x - c))}^{2}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de produit à $(x + c) (x - c)$ .

$- \frac{4 c^{2} x}{{(x + c)}^{2} {(x - c)}^{2}}$