Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 5 x^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = - 5 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 5 ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - 5 (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - 5 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = - 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = - 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = - 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = - 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - 5 x^{2} - 5 (2 h x) - 5 h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f (x + h) = - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $- 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $- 5 x^{2}$ .

$- 10 h x - 5 h^{2} - 5 x^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $- 10 h x$ et $- 5 h^{2}$ .

$- 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2}$

$f (x) = - 5 x^{2}$

$f (x + h) = - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2}$

$f (x) = - 5 x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} - (- 5 x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 5 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 h^{2} - 10 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $- 5 h^{2} - 10 h x$ et $0$ .

$\frac{- 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 5 h$ à partir de $- 5 h^{2} - 10 h x$ .

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Étape 4.1.4.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.1.4.1.1

Déplacez $h$ .

$\frac{- 5 h^{2} - 10 x h}{h}$

Étape 4.1.4.1.2

Remettez dans l’ordre $- 5 h^{2}$ et $- 10 x h$ .

$\frac{- 10 x h - 5 h^{2}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $- 5 h$ à partir de $- 10 x h$ .

$\frac{- 5 h (2 x) - 5 h^{2}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $- 5 h$ à partir de $- 5 h^{2}$ .

$\frac{- 5 h (2 x) - 5 h \cdot h}{h}$

Étape 4.1.4.4

Factorisez $- 5 h$ à partir de $- 5 h (2 x) - 5 h \cdot h$ .

$\frac{- 5 h (2 x + h)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 h (2 x + h)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $- 5 (2 x + h)$ par $1$ .

$- 5 (2 x + h)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (2 x) - 5 h$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 10 x - 5 h$

Étape 5