Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2^{x}}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2^{x}] - 2^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 1 \cdot 2^{x}}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 2^{x}$ comme $- 2^{x}$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x}}{x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\ln (2) x \cdot 2^{x} - 2^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (2) x \cdot 2^{x} - 2^{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{x} \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2^{x} x \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.3

Factorisez $2^{x}$ à partir de $2^{x} x \ln (2) - 2^{x}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2^{x}$ à partir de $2^{x} x \ln (2)$ .

$\frac{2^{x} (x \ln (2)) - 2^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $2^{x}$ à partir de $- 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (x \ln (2)) + 2^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $2^{x}$ à partir de $2^{x} (x \ln (2)) + 2^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{2^{x} (x \ln (2) - 1)}{x^{2}}$