Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 3)}^{3} \tan (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x - 3)}^{3}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

${(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 4.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0))$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1)$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

${(x - 3)}^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {(x - 3)}^{2})$

Étape 4.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sec^{2} (x) {(x - 3)}^{3} + 3 {(x - 3)}^{2} \tan (x)$