Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7 x - 6}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 7 x - 6}$ comme ${(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 7 x - 6$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 6]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 6]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7 x - 6$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 6]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (2 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (2 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (2 x + 7 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $2 x + 7$ et $0$ .

$- {(x^{2} + 7 x - 6)}^{- 2} (2 x + 7)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}} (2 x + 7)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}} (2 x + 7)$ .

$- (2 x + 7) \frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$(- 2 x - 7) \frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 2 x - 7$ par $\frac{1}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 7}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 7}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.8

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (7)}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (7)$ .

$\frac{- (2 x + 7)}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.10

Réécrivez $- (2 x + 7)$ comme $- 1 (2 x + 7)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 7)}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$

Étape 4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x + 7}{{(x^{2} + 7 x - 6)}^{2}}$