Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{8} x^{2} \cdot (4 \sqrt{x})$

Étape 1

Associez $\frac{1}{8}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8} \cdot (4 \sqrt{x})]$

Étape 2

Associez $4$ et $\frac{x^{2}}{8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{8} \cdot \sqrt{x}]$

Étape 3

Associez $\frac{4 x^{2}}{8}$ et $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} \sqrt{x}}{8}]$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{8}]$

Étape 5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2})}{8}]$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2}}{8}]$

Étape 5.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{8}]$

Étape 5.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 4}{2}}}{8}]$

Étape 5.6.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{8}]$

Étape 6

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{5}{2}})}{8}]$

Étape 7

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}]$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 14

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 16

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4}$