Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \ln (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

Étape 2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 3.8

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \cdot 1)$

Étape 3.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Associez $7$ et $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.2

Associez $x^{4}$ et $\frac{7}{x}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.3

Déplacez $7$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{7 \cdot x^{4}}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{4}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x^{1}} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 x^{3}}{1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.4.2.5

Divisez $7 x^{3}$ par $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} + x^{3} \frac{- 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.6

Associez $x^{3}$ et $\frac{- 5}{x}$ .

$7 x^{3} + \frac{x^{3} \cdot - 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.7

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{- 5 \cdot x^{3}}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 4.3.8.1

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x^{1}} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.8.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.8.2.3

Annulez le facteur commun.

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.8.2.4

Réécrivez l’expression.

$7 x^{3} + \frac{- 5 x^{2}}{1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.8.2.5

Divisez $- 5 x^{2}$ par $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.9

Associez $6$ et $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + x \frac{6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.10

Associez $x$ et $\frac{6}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.11

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.12

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.12.2

Divisez $6$ par $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Étape 4.3.13

Déplacez $6$ à gauche de $\ln (x)$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + 6 \ln (x)$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 28 x^{3} \ln (x) - 15 x^{2} \ln (x) + 6 \ln (x) + 6$