Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

Étape 1

Réécrivez ${(5 x + 7)}^{2}$ comme $(5 x + 7) (5 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

Étape 2

Développez $(5 x + 7) (5 x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3.1.4

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3.1.5

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Étape 3.1.6

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

Étape 3.2

Additionnez $35 x$ et $35 x$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 x^{2} + 70 x + 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.2

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.5

Comme $70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $70 x$ par rapport à $x$ est $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.7

Multipliez $70$ par $1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

Étape 6.8

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

Étape 6.9

Additionnez $50 x + 70$ et $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Déplacez $70$ à gauche de $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

Étape 7.3.2

Additionnez $70 x e^{x}$ et $e^{x} (50 x)$ .

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Étape 7.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $70 x e^{x}$ et $50 x e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Étape 7.3.3

Additionnez $49 e^{x}$ et $70 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

Étape 7.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$