Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(10 x + 4)}^{2} {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}$

Étape 1

Réécrivez ${(10 x + 4)}^{2}$ comme $(10 x + 4) (10 x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(10 x + 4) (10 x + 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 2

Développez $(10 x + 4) (10 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x + 4) + 4 (10 x + 4)) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x + 4)) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.1.3

Multipliez $10$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.1.5

Multipliez $10$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 40 x + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 40 x + 16) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 3.2

Additionnez $40 x$ et $40 x$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 80 x + 16) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 100 x^{2} + 80 x + 16$ et $g (x) = {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 7)}^{- 3}] + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 4 x^{2} - 7$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} - 7$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} - 7$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x + 0)) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x)) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.6.2

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Étape 6.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 x^{2} + 80 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.8

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 x^{2}$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.10

Multipliez $2$ par $100$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.11

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80 x$ par rapport à $x$ est $80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.13

Multipliez $80$ par $1$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 6.14

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 + 0)$

Étape 6.15

Additionnez $200 x + 80$ et $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80)$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Associez $- 24$ et $\frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (\frac{- 24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Étape 7.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Étape 7.3.3

Associez $x$ et $\frac{24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{x \cdot 24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Étape 7.3.4

Déplacez $24$ à gauche de $x$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (100 x^{2} + 80 x + 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- (100 x^{2}) - (80 x) - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.2

Simplifiez

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Étape 7.5.2.1

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$(- 100 x^{2} - (80 x) - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.2.2

Multipliez $80$ par $- 1$ .

$(- 100 x^{2} - 80 x - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$(- 100 x^{2} - 80 x - 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.3

Multipliez $- 100 x^{2} - 80 x - 16$ par $\frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$\frac{(- 100 x^{2} - 80 x - 16) (24 x)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 100 x^{2} - 80 x - 16$ .

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Étape 7.5.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 100 x^{2}$ .

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) - 80 x - 16) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 80 x$ .

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x) - 16) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x) + 4 (- 4)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x)$ .

$\frac{(4 (- 25 x^{2} - 20 x) + 4 (- 4)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 25 x^{2} - 20 x) + 4 (- 4)$ .

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 20 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.5.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 25 \cdot - 4 = 100$ et dont la somme est $b = - 20$ .

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Étape 7.5.4.2.1.1

Factorisez $- 20$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 20 (x) - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.2.1.2

Réécrivez $- 20$ comme $- 10$ plus $- 10$

$\frac{4 (- 25 x^{2} + (- 10 - 10) x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 10 x - 10 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.5.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4 ((- 25 x^{2} - 10 x) - 10 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 (5 x (- 5 x - 2) + 2 (- 5 x - 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 x - 2$ .

$\frac{4 ((- 5 x - 2) (5 x + 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

$\frac{4 (- 5 x - 2) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3

Associez les exposants.

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Étape 7.5.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{4 (- (5 x) - 2) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{4 (- (5 x) - 1 (2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{4 (- (5 x + 2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.4

Réécrivez $- (5 x + 2)$ comme $- 1 (5 x + 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (5 x + 2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.5

Élevez $5 x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(5 x + 2)}^{1} (5 x + 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.6

Élevez $5 x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(5 x + 2)}^{1} {(5 x + 2)}^{1}) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot - 1 {(5 x + 2)}^{1 + 1} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(5 x + 2)}^{2} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.3.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 {(5 x + 2)}^{2} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.4.4

Multipliez $24$ par $- 4$ .

$\frac{- 96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.6

Multipliez $200 x + 80$ par $\frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{200 x + 80}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.7

Factorisez $40$ à partir de $200 x + 80$ .

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Étape 7.5.7.1

Factorisez $40$ à partir de $200 x$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x) + 80}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.7.2

Factorisez $40$ à partir de $80$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x) + 40 (2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.5.7.3

Factorisez $40$ à partir de $40 (5 x) + 40 (2)$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Étape 7.6

Pour écrire $\frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$

Étape 7.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(4 x^{2} - 7)}^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.7.1

Multipliez $\frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ par $\frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3} (4 x^{2} - 7)}$

Étape 7.7.2

Multipliez ${(4 x^{2} - 7)}^{3}$ par $4 x^{2} - 7$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.7.2.1

Multipliez ${(4 x^{2} - 7)}^{3}$ par $4 x^{2} - 7$ .

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Étape 7.7.2.1.1

Élevez $4 x^{2} - 7$ à la puissance $1$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3} {(4 x^{2} - 7)}^{1}}$

Étape 7.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3 + 1}}$

Étape 7.7.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 96 {(5 x + 2)}^{2} x + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.9.1

Factorisez $8 (5 x + 2)$ à partir de $- 96 {(5 x + 2)}^{2} x + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)$ .

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Étape 7.9.1.1

Factorisez $8 (5 x + 2)$ à partir de $- 96 {(5 x + 2)}^{2} x$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.1.2

Factorisez $8 (5 x + 2)$ à partir de $40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 8 (5 x + 2) (5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.1.3

Factorisez $8 (5 x + 2)$ à partir de $8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 8 (5 x + 2) (5 (4 x^{2} - 7))$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 12 (5 x) - 12 \cdot 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.3

Multipliez $5$ par $- 12$ .

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 60 x - 12 \cdot 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.4

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 60 x - 24) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x \cdot x - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.9.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 (x \cdot x) - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 5 (4 x^{2}) + 5 \cdot - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.8

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 20 x^{2} + 5 \cdot - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.9

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 20 x^{2} - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.9.10

Additionnez $- 60 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 40 x^{2} - 24 x - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 40 x^{2}$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2}) - 24 x - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2}) - (24 x) - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 x^{2}) - (24 x)$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x) - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.13

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x) - 1 (35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 x^{2} + 24 x) - 1 (35)$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x + 35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.15

Réécrivez $- (40 x^{2} + 24 x + 35)$ comme $- 1 (40 x^{2} + 24 x + 35)$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 1 (40 x^{2} + 24 x + 35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(8 (5 x + 2)) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Étape 7.17

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(8 (5 x + 2)) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$- \frac{8 (5 x + 2) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$