Calcul infinitésimal Exemples

$6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 6 e^{8 x} + 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (2 (6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 ((6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 e^{8 x} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 e^{8 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.2

Multipliez $8$ par $6$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.4

Multipliez $48$ par $1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + 0)$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $48 e^{8 x}$ et $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x})$

Étape 5.6.2

Multipliez $48$ par $12$ .

$576 (6 e^{8 x} + 5) e^{8 x}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(576 (6 e^{8 x}) + 576 \cdot 5) e^{8 x}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$576 (6 e^{8 x}) e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Étape 6.3

Associez des termes.

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Étape 6.3.1

Multipliez $6$ par $576$ .

$3456 e^{8 x} e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Étape 6.3.2

Multipliez $e^{8 x}$ par $e^{8 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1

Déplacez $e^{8 x}$ .

$3456 (e^{8 x} e^{8 x}) + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Étape 6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3456 e^{8 x + 8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Étape 6.3.2.3

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$3456 e^{16 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Étape 6.3.3

Multipliez $576$ par $5$ .

$3456 e^{16 x} + 2880 e^{8 x}$