Calcul infinitésimal Exemples

$5 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x) + \tan (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$5 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $5$ .

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \tan (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.3

Multipliez $\sec (x) \tan (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{5 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{5 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{5 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.4

Associez $\sec^{2} (x)$ et $\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{5 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 5}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.5

Déplacez $5$ à gauche de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{5 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.7

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{5 \sec (x) (\tan (x)) + 5 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.7.2

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sec (x) (\tan (x)) + 5 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 6.7.3

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec (x) (\tan (x)) + 5 \sec (x) (\sec (x))$ .

$\frac{5 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$