Calcul infinitésimal Exemples

$arcsec (\frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $arcsec (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}$ .

$1 \frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ par $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} (- x^{- 2})$

Étape 6

Associez $\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Étape 7

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{1 - 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Étape 8

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1} x}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2}}{x^{2}} - 1} x}$

Étape 9.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} - 1} x}$