Calcul infinitésimal Exemples

$arccsc (\frac{x}{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $arccsc (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2

Associez $\frac{x}{2}$ et $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$- \frac{1}{\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}$ .

$- (1 \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 4

Multipliez $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ par $1$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{2}{2 (x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{2 x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \cdot 1$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - 1}}$

Étape 9.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - 1}}$