Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{y}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Associez $\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{y x^{- 2}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{(1 + {(\frac{y}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{y}{(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{y}{1 x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.3.3.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$