Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x e^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x e^{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

Étape 5.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ .

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Étape 5.4

Multipliez $x e^{x} + e^{x}$ par $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Étape 5.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Étape 5.5.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$