Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{x}{y})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Étape 3.3.2

Associez $y$ et $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

Étape 3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$