Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{9}{x}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{9}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{9}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.6

Associez $- 9$ et $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.7

Associez $\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.8

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

Étape 3.6

Associez $- 3$ et $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Étape 3.7

Associez $\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

Étape 3.8

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5

Associez des termes.

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Étape 4.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{81}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.4.2

Divisez $81$ par $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.7

Associez $\frac{9}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.8

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.8.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.8.2

Divisez $9$ par $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Étape 4.5.9

Pour écrire $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Étape 4.5.10

Pour écrire $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Étape 4.5.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.11.1

Multipliez $\frac{9}{x^{2} + 81}$ par $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Étape 4.5.11.2

Multipliez $\frac{3}{x^{2} + 9}$ par $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

Étape 4.5.11.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 9 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.4

Additionnez $x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.5

Additionnez $81$ et $27$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 108$ .

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Étape 4.7.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.6.2

Factorisez $4$ à partir de $108$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.7.7

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$