Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{6 x}{5})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{6 x}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $\frac{6}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} (\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{6}{5 (1 + \frac{{(6 x)}^{2}}{5^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\frac{6}{5 (1 + \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}})}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6}{5 \cdot 1 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Étape 3.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Étape 3.4.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{5^{2}}}$

Étape 3.4.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{25}}$

Étape 3.4.4

Associez $5$ et $\frac{36 x^{2}}{25}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Étape 3.4.5

Multipliez $36$ par $5$ .

$\frac{6}{5 + \frac{180 x^{2}}{25}}$

Étape 3.4.6

Annulez le facteur commun à $180$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1

Factorisez $5$ à partir de $180 x^{2}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Étape 3.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 (5)}}$

Étape 3.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 \cdot 5}}$

Étape 3.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{5 + \frac{36 x^{2}}{5}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 3.6.2

Associez $5$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Étape 3.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Étape 3.6.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 25}{5}}$

Étape 3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$

Étape 3.8

Multipliez $6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Associez $6$ et $\frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{36 x^{2} + 25}$

Étape 3.8.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{30}{36 x^{2} + 25}$