Calcul infinitésimal Exemples

$9 x^{\ln (x)}$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\ln (x)}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{\ln (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$9 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Étape 3

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Étape 4

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln^{2} (x)$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln^{2} (x)$ .

$9 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$9 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$9 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 9

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 10

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$18 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$18 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 11.2

Associez $\frac{\ln (x)}{x}$ et $18$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 18}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

Étape 11.3

Associez $\frac{\ln (x) \cdot 18}{x}$ et $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 18 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Étape 11.4

Déplacez $18$ à gauche de $\ln (x)$ .

$\frac{18 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Simplifiez $18 \ln (x)$ en déplaçant $18$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x^{18}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{18}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{18})}{x}$