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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 1.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2
Étape 2.1
Réécrivez comme .
Étape 2.2
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 3
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 4
Réécrivez comme .
Étape 5
Étape 5.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 5.1.2.1
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 5.1.2.2
Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de dans le dénominateur, qui est .
Étape 5.1.2.3
Évaluez la limite.
Étape 5.1.2.3.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.1.2.3.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.1.2.3.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.1.2.3.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.1.2.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.1.2.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.1.2.3.3
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.1.2.3.4
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.1.2.3.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 5.1.2.3.6
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.1.2.4
Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction approche de .
Étape 5.1.2.5
Évaluez la limite.
Étape 5.1.2.5.1
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 5.1.2.5.2
Simplifiez la réponse.
Étape 5.1.2.5.2.1
Divisez par .
Étape 5.1.2.5.2.2
Multipliez par .
Étape 5.1.2.5.2.3
Additionnez et .
Étape 5.1.2.5.2.4
Le logarithme naturel de est .
Étape 5.1.3
Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction approche de .
Étape 5.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 5.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 5.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 5.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 5.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3.3
Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par .
Étape 5.3.4
Multipliez par .
Étape 5.3.5
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 5.3.6
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.7
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.3.8
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.9
Additionnez et .
Étape 5.3.10
Multipliez par .
Étape 5.3.11
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.3.12
Multipliez par .
Étape 5.3.13
Multipliez par .
Étape 5.3.14
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.3.14.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.14.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.14.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.15
Simplifiez
Étape 5.3.15.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.15.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.15.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.3.15.3.1
Soustrayez de .
Étape 5.3.15.3.2
Soustrayez de .
Étape 5.3.15.4
Associez des termes.
Étape 5.3.15.4.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.15.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.15.4.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.15.4.4
Additionnez et .
Étape 5.3.15.4.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.3.15.5
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.15.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.15.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.15.5.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.16
Réécrivez comme .
Étape 5.3.17
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.3.18
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 5.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5.5
Combinez les facteurs.
Étape 5.5.1
Multipliez par .
Étape 5.5.2
Multipliez par .
Étape 5.5.3
Associez et .
Étape 5.6
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.6.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.6.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 7
Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de dans le dénominateur, qui est .
Étape 8
Étape 8.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 8.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 8.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 8.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 8.5
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 8.6
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 8.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 9
Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction approche de .
Étape 10
Étape 10.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 10.1.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2
Additionnez et .
Étape 10.2
Divisez par .
Étape 10.3
Multipliez par .