Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{2}{\ln (2)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{\ln (2)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{2^{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ .

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{2}{\ln (2)}$ par $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

Étape 6.1.2

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

Étape 6.1.3

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

Étape 6.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ par $0$ .

$0$