Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{f (x) (\sin (14 x))}{\sin (7 x)}$

Étape 1

Comme $f (x)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{f (x) \sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ par rapport à $x$ est $f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$

Étape 2

Réécrivez $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ comme un produit.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Étape 3

Écrivez $\sin (14 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez $\sin (14 x)$ par $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Étape 4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (7 x)}$ à $\csc (7 x)$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \csc (7 x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (14 x)$ et $g (x) = \csc (7 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)] + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 6.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 7.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \cdot 1) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 7.4

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 14 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 8.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Étape 9

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \cdot 1))$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) \cdot 14)$

Étape 9.3.2

Déplacez $14$ à gauche de $\csc (7 x) \cos (14 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 \cdot (\csc (7 x) \cos (14 x)))$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x))) + f (x) (14 \csc (7 x) \cos (14 x))$

Étape 10.2

Déplacez $14$ à gauche de $f (x)$ .

$f (x) \sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 f (x) \csc (7 x) \cos (14 x)$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 7 \cot (7 x) \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Réécrivez $\cot (7 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 7 \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$\frac{- 7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(7) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.4

Réécrivez $\csc (7 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.5

Multipliez $- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (7 x)}$ par $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.5.2

Élevez $\sin (7 x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.5.3

Élevez $\sin (7 x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin^{1} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{{\sin (7 x)}^{1 + 1}} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.6

Associez $\sin (14 x)$ et $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{\sin (14 x) (7 \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.7

Déplacez $7$ à gauche de $\sin (14 x)$ .

$- \frac{7 \cdot \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.8

Associez $f (x)$ et $\frac{7 \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{f (x) (7 \sin (14 x) \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.9

Déplacez $7$ à gauche de $f (x)$ .

$- \frac{7 \cdot f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Étape 10.4.10

Réécrivez $\csc (7 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)} f (x)$

Étape 10.4.11

Multipliez $14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.11.1

Associez $\frac{1}{\sin (7 x)}$ et $14$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14}{\sin (7 x)} \cos (14 x) f (x)$

Étape 10.4.11.2

Associez $\frac{14}{\sin (7 x)}$ et $\cos (14 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)} f (x)$

Étape 10.4.12

Associez $\frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ et $f (x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Factorisez $\sin (7 x)$ à partir de $\sin^{2} (7 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.3

Réécrivez $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ comme un produit.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.4

Écrivez $\sin (14 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.5.1

Divisez $\sin (14 x)$ par $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (7 x)}$ à $\csc (7 x)$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.6

Séparez les fractions.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.7

Convertissez de $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ à $\cot (7 x)$ .

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.8

Divisez $7 f (x)$ par $1$ .

$- (7 f (x) \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.9

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 7 (f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x)) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.10

Séparez les fractions.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$

Étape 10.5.11

Réécrivez $\frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ comme un produit.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

Étape 10.5.12

Écrivez $\cos (14 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\frac{\cos (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})$

Étape 10.5.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.13.1

Divisez $\cos (14 x)$ par $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

Étape 10.5.13.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (7 x)}$ à $\csc (7 x)$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \csc (7 x))$

Étape 10.5.14

Divisez $14 f (x)$ par $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$

Étape 10.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$ .

$- 7 \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$