Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{f (x) (a x + b x^{2})}{a m + b m^{2}}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $a x + b x^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $a x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + b x^{2})}{a m + b m^{2}}]$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $b x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + x (b x))}{a m + b m^{2}}]$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x a + x (b x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x (a + b x))}{a m + b m^{2}}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{a m + b m^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Factorisez $m$ à partir de $a m + b m^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $m$ à partir de $a m$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + b m^{2}}]$

Étape 2.1.2

Factorisez $m$ à partir de $b m^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + m (b m)}]$

Étape 2.1.3

Factorisez $m$ à partir de $m a + m (b m)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}]$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}]$

Étape 2.3

Comme $\frac{f (x)}{m (a + b m)}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}$ par rapport à $x$ est $\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = a + b x$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [a + b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + b x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \frac{d}{d x} [x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \cdot 1) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez $a + b x$ par $1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + a + b x)$

Étape 5

Additionnez $x b$ et $b x$ .

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Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $b$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + b x + b x)$

Étape 5.2

Additionnez $b x$ et $b x$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + 2 b x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} (a + 2 b x)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Étape 6.3

Associez des termes.

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Étape 6.3.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Étape 6.3.2

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Étape 6.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Étape 6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b m^{2}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Étape 6.3.5

Associez $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ et $a$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Étape 6.3.6

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} (2 b x)$

Étape 6.3.7

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} (2 b x)$

Étape 6.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} (2 b x)$

Étape 6.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{2}} (2 b x)$

Étape 6.3.10

Associez $2$ et $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}} (b x)$

Étape 6.3.11

Associez $b$ et $\frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}}$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}} x$

Étape 6.3.12

Associez $\frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}}$ et $x$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x)) x}{m a + b m^{2}}$

Étape 6.3.13

Déplacez $2$ à gauche de $b$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 \cdot b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

Étape 6.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{f (x) a + 2 b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a f (x) + 2 b x f (x)}{a m + m^{2} b}$