Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (\arctan (2 x))$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (2 x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, 2 x)$ . Ainsi, $\cos (\arctan (2 x))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

Étape 1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

Étape 1.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ comme ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3.4

Réécrivez $\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 7.2

Associez ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 7.3

Placez ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Étape 11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 12.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 12.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 16.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 16.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 16.4

Associez $\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 16.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$