Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

Étape 3.2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$