Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Étape 2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Étape 3.5

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.3.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $x^{2} + 1$ .

$0$