Calcul infinitésimal Exemples

$\cos ({(1 - x^{2})}^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (2 x))$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x^{2}$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 \cdot (1 - x^{2}) x)$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (1 x - x^{2} x)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{2} x)$

Étape 4.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - (x^{1} x^{2}))$

Étape 4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{1 + 2})$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{3})$