Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (x) \sec (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cot (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cot (x) \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $\cot (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1}{\sin (x)} \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Remettez dans l’ordre $\csc (x)$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\csc (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2.3.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1}{\cos (x)} - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez par $1$ .

$\sec (x) \cdot 1 - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 4.3.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 4.3.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\sec (x) (1 - \csc^{2} (x))$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \csc^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \csc^{2} (x) + 1)$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\csc^{2} (x)) + 1)$

Étape 4.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (- (\csc^{2} (x) - 1))$

Étape 4.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec (x) (- \cot^{2} (x))$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \sec (x) \cot^{2} (x)$