Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \arctan (5 x^{3})$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{3})] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 (x^{3})$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{1 + 25 x^{6}}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Associez $5$ et $\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (3 x^{2}) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Associez $3$ et $\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{3 (5 x^{2})}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$2 (\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{15 x^{2} x^{2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (\frac{15 (x^{2} x^{2})}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\frac{15 x^{2 + 2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) (2 x))$

Étape 7

Pour écrire $\arctan (5 x^{3}) (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 25 x^{6}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \frac{\arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 9

Associez $2$ et $\frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$ .

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (15 x^{4}) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 (\arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.5

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.5.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x)) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.5.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 10.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x^{1})) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{6 + 1}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.5.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{7}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x^{7} \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.7

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (50 \arctan (5 x^{3}) x^{7})}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.1.8

Multipliez $50$ par $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{1 + 25 x^{6}}$

Étape 10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{25 x^{6} + 1}$