Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Étape 2.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Étape 2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Étape 2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Étape 2.9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{3}{x}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$- \frac{3}{x}$